反函数的导数是原函数的导数的倒数 如何理解,先介绍,在举例说明

y = f(x)

反函数：x = g(y)

g() = f'() ---- f 的反函数

dg(x)/dx = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/[df(x)/dx]

即："反函数的导数是原函数的导数的倒数"

举例：原函数：y ＝ ln x

反函数：x ＝ e^(y)

即：反函数x =e^(y)的导数dx/dy=e^(y)等于原函数y=ln x的导数(1/x)的倒数x,即e^(y).

原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系?

不是。

学数学要与生活实际相结合。

下面举两个生活中例子，

来简要说明一下 函数与反函数的关系。

例1，大米 3 元一斤，买x斤多少钱(y元)？

函数关系为 y = 3x。

此函数的反函数是，有x元可买大米多少斤(y斤)？

y = x/3。

例2，一汽车速度的速度是80 千米/小时，x 小时行多少千米(y千米)？

函数关系为 y = 80x。

这个函数的反函数是行 x千米，要用多长时间(y小时)？

y = x/80。

y=y(x) 原函数 原函数的导数：dy/dx

x=x(y) 反函数 反函数的导数：dx/dy

可见：dx/dy ＝ 1/(dy/dx)

即原函数的导数与反函数的导数互为倒数.

举例：原函数 y = tan x

反函数 x = arctan y

原函数的导数 dy/dx = sec?x

反函数的导数 dx/dy = 1/(1+y?)

dx/dy = 1/(1+tan?x) = 1/sec?x = 1/(dy/dx)

即：dx/dy 与 dy/dx 互为倒数.

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