一道初中的几何题

∠APC=∠PAB+∠PCD

延长AP到CD，设焦点为E，

∵AB‖CD

∴∠PEC＝∠PAB

∵∠PCD+∠CEP+∠EPC=180°

∵∠APC+∠CPE=180°

∴∠APC=∠PAB+∠PCD

（法一）

如图1所示，过P点做EF∥AB，

则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等）

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD，（平行线的传递性）

∴∠PCD=∠EPC

∴∠APC=∠PAB+∠PCD

（法二）

延长CP交AB于点H，

则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等）

则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质）

=∠PAB+∠PCD（等量代换）

（法三）

如图3所示：连接AC，

则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°）

又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180°

∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）

法四）

如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点，

∠APC=∠EPD，（对顶角相等）

∵AB∥CD

∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等）

则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质）

=∠PAB+∠PCD（等量代换）

则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换）

（法五）

如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F，

则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补）

由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°）

∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°）

∵∠AEP=90°，∠PFC=90°

∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180°

又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180°

∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）